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Savage-Niehans-Regel: Bedauernsmatrix, Beispiel und Rechner

Die Savage-Niehans-Regel entscheidet nach dem größten Bedauern, das eine Wahl verursachen kann. Hier stehen die Bedauernsmatrix, ein Beispiel mit jedem Schritt und ein Rechner für Ihre eigene Ergebnismatrix.

Kurzantworten

Was ist die Savage-Niehans-Regel?

Die Savage-Niehans-Regel (Minimax-Regret-Regel, Bedauernsregel) ist eine Entscheidungsregel bei Ungewissheit. Sie fragt nicht nach dem Ergebnis, sondern nach dem Bedauern: Wie viel verschenkt man gegenüber der besten Alternative, wenn ein Zustand eintritt? Gewählt wird die Alternative, deren größtes Bedauern am kleinsten ist.

Was ist die Bedauernsmatrix?

Die Bedauernsmatrix entsteht aus der Ergebnismatrix: Je Umweltzustand (Spalte) wird der Bestwert bestimmt, bei Gewinnen das Maximum. Das Bedauern einer Alternative in diesem Zustand ist der Bestwert minus ihr eigenes Ergebnis. Bei Kosten ist es ihr Ergebnis minus der niedrigste Wert der Spalte.

Worin unterscheidet sich die Savage-Niehans-Regel von der Hurwicz-Regel?

Die Hurwicz-Regel bewertet jede Alternative für sich aus ihrem besten und schlechtesten Ergebnis. Die Savage-Niehans-Regel vergleicht jede Alternative mit den anderen, Zustand für Zustand. Im Beispiel dieser Seite wählt sie „Modernisieren“, die Hurwicz-Regel bei λ = 0,5 „Expandieren“.

Savage-Niehans-Regel: die Rechenschritte

Ausgangspunkt ist wie bei der Hurwicz-Regel eine Ergebnismatrix: Zeilen sind die Alternativen k, Spalten die Umweltzustände j, die Zellen die Ergebnisse xk,j (hier Gewinne). Die Regel hat drei Schritte.

1. Bestwert je Zustand:

xj,best=max⁡(xk,j)x_{\mathit{j,best}} = \max\left(x_{\mathit{k,j}}\right)

2. Größtes Bedauern je Alternative: der Bestwert minus das eigene Ergebnis, davon das Maximum über alle Zustände.

Wk=max⁡(xj,best−xk,j)W_{k} = \max\left(x_{\mathit{j,best}} - x_{\mathit{k,j}}\right)

3. Wahl: die Alternative mit dem kleinsten größten Bedauern.

Wopt=min⁡(Wk)W_{\mathit{opt}} = \min\left(W_{k}\right)

Savage-Niehans-Regel: Beispiel mit Rechenweg

Dieselbe Entscheidung wie auf der Seite zur Hurwicz-Regel: Ein Unternehmen kann expandieren, modernisieren oder abwarten. Zustand 1 ist eine gute, Zustand 2 eine mittlere, Zustand 3 eine schwache Nachfrage. Wahrscheinlichkeiten sind nicht bekannt.

Größtes Bedauern „Expandieren“
100.000 €
Größtes Bedauern „Modernisieren“
80.000 €
Größtes Bedauern „Abwarten“
160.000 €

Das größte Bedauern ist bei „Modernisieren“ am kleinsten: 80.000 €. Nach der Savage-Niehans-Regel fällt die Wahl darauf.

Bedauernsmatrix und größtes Bedauern
AlternativeZustand 1Zustand 2Zustand 3Größtes Bedauern
Expandieren0 €0 €100.000 €100.000 €
Modernisieren80.000 €10.000 €30.000 €80.000 €
Abwarten160.000 €40.000 €0 €160.000 €

  1. Bestwert je Umweltzustand bestimmen

    xj,best=max⁡(xk,j)x_{\mathit{j,best}} = \max\left(x_{\mathit{k,j}}\right)
    xj,best=max⁡(200.000;120.000;40.000)x_{\mathit{j,best}} = \max\left(200.000; 120.000; 40.000\right)

    Ergebnis: 200.000,00 €

    Das Bedauern misst, wie viel man gegenüber der besten Alternative im eingetretenen Zustand verschenkt hat. Dafür braucht jeder Zustand seinen Bestwert: bei Gewinnen das Maximum der Spalte.

  2. Bestwert je Umweltzustand bestimmen

    xj,best=max⁡(xk,j)x_{\mathit{j,best}} = \max\left(x_{\mathit{k,j}}\right)
    xj,best=max⁡(80.000;70.000;40.000)x_{\mathit{j,best}} = \max\left(80.000; 70.000; 40.000\right)

    Ergebnis: 80.000,00 €

    Das Bedauern misst, wie viel man gegenüber der besten Alternative im eingetretenen Zustand verschenkt hat. Dafür braucht jeder Zustand seinen Bestwert: bei Gewinnen das Maximum der Spalte.

  3. Bestwert je Umweltzustand bestimmen

    xj,best=max⁡(xk,j)x_{\mathit{j,best}} = \max\left(x_{\mathit{k,j}}\right)
    xj,best=max⁡(−60.000;10.000;40.000)x_{\mathit{j,best}} = \max\left(-60.000; 10.000; 40.000\right)

    Ergebnis: 40.000,00 €

    Das Bedauern misst, wie viel man gegenüber der besten Alternative im eingetretenen Zustand verschenkt hat. Dafür braucht jeder Zustand seinen Bestwert: bei Gewinnen das Maximum der Spalte.

  4. Größtes Bedauern je Alternative bestimmen

    Wk=max⁡(xj,best−xk,j)W_{k} = \max\left(x_{\mathit{j,best}} - x_{\mathit{k,j}}\right)
    W1=max⁡(200.000−200.000;80.000−80.000;40.000−(−60.000))W_{1} = \max\left(200.000 - 200.000; 80.000 - 80.000; 40.000 - \left(-60.000\right)\right)

    Ergebnis: 100.000,00 €

    Das Bedauern in einem Zustand ist der Bestwert minus das Ergebnis der Alternative. Je Alternative zählt das größte Bedauern über alle Zustände.

  5. Größtes Bedauern je Alternative bestimmen

    Wk=max⁡(xj,best−xk,j)W_{k} = \max\left(x_{\mathit{j,best}} - x_{\mathit{k,j}}\right)
    W2=max⁡(200.000−120.000;80.000−70.000;40.000−10.000)W_{2} = \max\left(200.000 - 120.000; 80.000 - 70.000; 40.000 - 10.000\right)

    Ergebnis: 80.000,00 €

    Das Bedauern in einem Zustand ist der Bestwert minus das Ergebnis der Alternative. Je Alternative zählt das größte Bedauern über alle Zustände.

  6. Größtes Bedauern je Alternative bestimmen

    Wk=max⁡(xj,best−xk,j)W_{k} = \max\left(x_{\mathit{j,best}} - x_{\mathit{k,j}}\right)
    W3=max⁡(200.000−40.000;80.000−40.000;40.000−40.000)W_{3} = \max\left(200.000 - 40.000; 80.000 - 40.000; 40.000 - 40.000\right)

    Ergebnis: 160.000,00 €

    Das Bedauern in einem Zustand ist der Bestwert minus das Ergebnis der Alternative. Je Alternative zählt das größte Bedauern über alle Zustände.

  7. Alternative mit dem kleinsten größten Bedauern wählen

    Wopt=min⁡(Wk)W_{\mathit{opt}} = \min\left(W_{k}\right)
    Wopt=min⁡(100.000;80.000;160.000)W_{\mathit{opt}} = \min\left(100.000; 80.000; 160.000\right)

    Ergebnis: 80.000,00 €

    Die Savage-Niehans-Regel (Minimax-Regret) wählt die Alternative, deren größtes Bedauern am kleinsten ist. Haben mehrere denselben Wert, entscheidet die Regel allein nicht: Der Gleichstand wird gemeldet.

Die Tabelle zeigt die Bedauernsmatrix: Wer in Zustand 1 abwartet, verschenkt gegenüber dem Besten 160.000 €. Das größte Bedauern ist bei „Modernisieren“ am kleinsten, deshalb fällt die Wahl darauf. Die Hurwicz-Regel kommt bei λ = 0,5 zu „Expandieren“: Die beiden Regeln gewichten die Risiken unterschiedlich und müssen nicht dieselbe Alternative wählen.

Savage-Niehans-Regel selbst berechnen

Tragen Sie Ihre Ergebnismatrix ein. Bei Kosten statt Gewinnen wechseln Sie die Zielrichtung. Die Rechnung läuft in Ihrem Browser, die Eingaben werden nicht übertragen.

Format: Name: Wert; Wert; Wert. Jede Zahl gehört zu einem Umweltzustand, in allen Zeilen gleich viele.

Größtes Bedauern „Expandieren“
100.000 €
Größtes Bedauern „Modernisieren“
80.000 €
Größtes Bedauern „Abwarten“
160.000 €

Das größte Bedauern ist bei „Modernisieren“ am kleinsten: 80.000 €. Nach der Savage-Niehans-Regel fällt die Wahl darauf.

Bedauernsmatrix und größtes Bedauern
AlternativeZustand 1Zustand 2Zustand 3Größtes Bedauern
Expandieren0 €0 €100.000 €100.000 €
Modernisieren80.000 €10.000 €30.000 €80.000 €
Abwarten160.000 €40.000 €0 €160.000 €

Worauf Sie achten sollten

  • Die Bestwerte je Zustand kommen aus allen Alternativen. Eine zusätzliche Alternative kann deshalb die Rangfolge der übrigen verändern, auch wenn sie selbst nie gewählt wird.
  • Die Regel gilt als vorsichtig: Sie vermeidet große Fehlentscheidungen, nimmt dafür aber Verzicht auf große Chancen in Kauf.
  • Sie braucht keine Wahrscheinlichkeiten und keinen Parameter wie λ; dafür muss die Matrix vollständig und vergleichbar sein.
  • Die Savage-Niehans-Regel kommt nicht in jedem Lehrbuch zur Entscheidung bei Ungewissheit vor. Wenn Ihre Aufgabe sie nennt, rechnen Sie wie oben.

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