Zum Inhalt springen

Hurwicz-Regel: Formel, Beispiel und Rechner

Wie entscheidet man, wenn niemand die Wahrscheinlichkeiten kennt? Die Hurwicz-Regel mischt Pessimismus und Optimismus. Hier stehen Formel, ein Beispiel mit jedem Schritt und ein Rechner für Ihre eigene Ergebnismatrix.

Kurzantworten

Was ist die Hurwicz-Regel?

Die Hurwicz-Regel (Pessimismus-Optimismus-Regel) ist eine Entscheidungsregel bei Ungewissheit, also wenn keine Eintrittswahrscheinlichkeiten bekannt sind. Sie bewertet jede Alternative mit einer gewichteten Mischung aus ihrem besten und ihrem schlechtesten Ergebnis und wählt die Alternative mit dem höchsten Wert.

Wie lautet die Formel der Hurwicz-Regel?

Hurwicz-Wert = λ · bester Wert + (1 − λ) · schlechtester Wert, mit dem Optimismusparameter λ zwischen 0 und 1. Bei Gewinnen ist der beste Wert das Maximum, bei Kosten das Minimum der Zeile.

Was bedeutet der Parameter λ?

λ gewichtet den besten Wert, 1 − λ den schlechtesten. Bei λ = 0 zählt nur der schlechteste Wert (Maximin-Regel), bei λ = 1 nur der beste (Maximax-Regel). Welches λ „richtig“ ist, ergibt die Rechnung nicht: Es drückt aus, wie optimistisch der Entscheider ist.

Hurwicz-Regel: die Formel

Ausgangspunkt ist eine Ergebnismatrix: Die Zeilen sind die Handlungsalternativen, die Spalten die möglichen Umweltzustände, die Zellen die Ergebnisse (hier Gewinne). Die Hurwicz-Regel bildet für jede Alternative k den Wert Wk aus dem besten und dem schlechtesten Ergebnis ihrer Zeile.

Wk=λ⋅xbest+(1−λ)⋅xschlechtW_{k} = λ \cdot x_{\mathit{best}} + \left(1 - λ\right) \cdot x_{\mathit{schlecht}}

Gewählt wird die Alternative mit dem größten Wert. Haben mehrere denselben Wert, entscheidet die Regel allein nicht.

Wopt=max⁡(Wk)W_{\mathit{opt}} = \max\left(W_{k}\right)

Hurwicz-Regel: Beispiel mit Rechenweg

Ein Unternehmen kann expandieren, modernisieren oder abwarten. Der Gewinn hängt von der Nachfrage ab: Zustand 1 ist eine gute, Zustand 2 eine mittlere, Zustand 3 eine schwache Nachfrage. Wahrscheinlichkeiten sind nicht bekannt. Das Unternehmen ist mäßig optimistisch und wählt λ = 0,5.

Hurwicz-Wert „Expandieren“
70.000 €
Hurwicz-Wert „Modernisieren“
65.000 €
Hurwicz-Wert „Abwarten“
40.000 €

Bei λ = 0,5 ist „Expandieren“ die beste Alternative.

Ergebnismatrix und Hurwicz-Wert
AlternativeZustand 1Zustand 2Zustand 3Hurwicz-Wert
Expandieren200.000 €80.000 €−60.000 €70.000 €
Modernisieren120.000 €70.000 €10.000 €65.000 €
Abwarten40.000 €40.000 €40.000 €40.000 €

  1. Gewicht des schlechtesten Werts bestimmen

    λschlecht=1−λλ_{\mathit{schlecht}} = 1 - λ
    λschlecht=1−0,5λ_{\mathit{schlecht}} = 1 - 0{,}5

    Ergebnis: 50 %

    Der Parameter λ (0 ≤ λ ≤ 1) gewichtet den besten Wert, 1 − λ den schlechtesten. Bei λ = 1 wird die Hurwicz-Regel zur Maximax-Regel, bei λ = 0 zur Maximin-Regel.

  2. Hurwicz-Wert berechnen

    Wk=λ⋅xbest+(1−λ)⋅xschlechtW_{k} = λ \cdot x_{\mathit{best}} + \left(1 - λ\right) \cdot x_{\mathit{schlecht}}
    W1=0,5⋅200.000+(1−0,5)⋅(−60.000)W_{1} = 0{,}5 \cdot 200.000 + \left(1 - 0{,}5\right) \cdot \left(-60.000\right)

    Ergebnis: 70.000,00 €

    Die Hurwicz-Regel mischt Optimismus und Pessimismus: λ · bester Wert + (1 − λ) · schlechtester Wert. Der Parameter λ gehört zum besten Wert, bei Gewinnen also zum Maximum. Gewählt wird der größte Wert.

  3. Hurwicz-Wert berechnen

    Wk=λ⋅xbest+(1−λ)⋅xschlechtW_{k} = λ \cdot x_{\mathit{best}} + \left(1 - λ\right) \cdot x_{\mathit{schlecht}}
    W2=0,5⋅120.000+(1−0,5)⋅10.000W_{2} = 0{,}5 \cdot 120.000 + \left(1 - 0{,}5\right) \cdot 10.000

    Ergebnis: 65.000,00 €

    Die Hurwicz-Regel mischt Optimismus und Pessimismus: λ · bester Wert + (1 − λ) · schlechtester Wert. Der Parameter λ gehört zum besten Wert, bei Gewinnen also zum Maximum. Gewählt wird der größte Wert.

  4. Hurwicz-Wert berechnen

    Wk=λ⋅xbest+(1−λ)⋅xschlechtW_{k} = λ \cdot x_{\mathit{best}} + \left(1 - λ\right) \cdot x_{\mathit{schlecht}}
    W3=0,5⋅40.000+(1−0,5)⋅40.000W_{3} = 0{,}5 \cdot 40.000 + \left(1 - 0{,}5\right) \cdot 40.000

    Ergebnis: 40.000,00 €

    Die Hurwicz-Regel mischt Optimismus und Pessimismus: λ · bester Wert + (1 − λ) · schlechtester Wert. Der Parameter λ gehört zum besten Wert, bei Gewinnen also zum Maximum. Gewählt wird der größte Wert.

  5. Alternative wählen

    Wopt=max⁡(Wk)W_{\mathit{opt}} = \max\left(W_{k}\right)
    Wopt=max⁡(70.000;65.000;40.000)W_{\mathit{opt}} = \max\left(70.000; 65.000; 40.000\right)

    Ergebnis: 70.000,00 €

    Gewählt wird die Alternative mit dem größten Wert der Regel. Haben mehrere denselben Wert, entscheidet die Regel allein nicht: Der Gleichstand wird gemeldet.

Bei λ = 0,5 ist „Expandieren“ die beste Alternative: Das gute Ergebnis in Zustand 1 wiegt das Verlustrisiko in Zustand 3 auf. Zum Vergleich: Die Maximin-Regel (nur der schlechteste Wert zählt, λ = 0) wählt „Abwarten“, die Maximax-Regel (nur der beste Wert zählt, λ = 1) wählt „Expandieren“. Die Hurwicz-Regel liegt je nach λ zwischen beiden.

Hurwicz-Regel selbst berechnen

Tragen Sie Ihre Ergebnismatrix und λ ein. Bei Kosten statt Gewinnen wechseln Sie die Zielrichtung. Die Rechnung läuft in Ihrem Browser, die Eingaben werden nicht übertragen.

Format: Name: Wert; Wert; Wert. Jede Zahl gehört zu einem Umweltzustand, in allen Zeilen gleich viele.

Hurwicz-Wert „Expandieren“
70.000 €
Hurwicz-Wert „Modernisieren“
65.000 €
Hurwicz-Wert „Abwarten“
40.000 €

Bei λ = 0,5 ist „Expandieren“ die beste Alternative.

Ergebnismatrix und Hurwicz-Wert
AlternativeZustand 1Zustand 2Zustand 3Hurwicz-Wert
Expandieren200.000 €80.000 €−60.000 €70.000 €
Modernisieren120.000 €70.000 €10.000 €65.000 €
Abwarten40.000 €40.000 €40.000 €40.000 €

Worauf Sie achten sollten

  • Die Regel nutzt nur zwei Werte je Alternative, das beste und das schlechteste. Alle Ergebnisse dazwischen bleiben unberücksichtigt.
  • λ ist eine Setzung des Entscheiders. Prüfen Sie, wie robust die Wahl gegenüber einem anderen λ ist: Dort, wo sie kippt, liegt der kritische Wert.
  • Bei Kosten kehrt sich die Richtung um: Der beste Wert ist das Minimum, gewählt wird der kleinste Hurwicz-Wert. Der Rechner übernimmt das über die Zielrichtung.
  • Kennt man Wahrscheinlichkeiten, rechnet man besser mit Erwartungswert und Streuung. Ohne sie bleibt die Wahl der Regel selbst eine Frage der Risikoneigung. Eine Alternative zur Hurwicz-Regel ist die Savage-Niehans-Regel.

Verwandte Verfahren

Rechenweg Finanzmathe für iPhone und Android

Rechenweg Finanzmathe ist ein Rechner und Klausurtrainer für Investitionsrechnung und Finanzmathematik im Studium. Die App zeigt den vollständigen Rechenweg im Klausurformat: Formel, eingesetzte Werte, Zwischenergebnisse und Ergebnis. Am Beispiel jedes Verfahrens ist das kostenlos, für deine eigenen Zahlen mit Pro.

Mehr über Rechenweg Finanzmathe

Lern- und Rechenhilfe, keine Finanzberatung und keine Anlageempfehlung. Es gibt keine Garantie für den Prüfungserfolg.