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Interner Zinsfuß berechnen: Formel, Beispiel und Rechner

Der interne Zinsfuß ist die Rendite einer Investition als einzelne Zahl. Hier stehen die Definition, beide Berechnungswege mit jedem Schritt und ein Rechner für Ihre eigene Zahlungsreihe.

Kurzantworten

Was ist der interne Zinsfuß?

Der interne Zinsfuß ist der Zinssatz, bei dem der Kapitalwert einer Investition null ist. Er gibt die Verzinsung des gebundenen Kapitals an. Im Beispiel dieser Seite (Anschaffung 1.000 €, dreimal 500 € Überschuss) liegt er bei 23,38 %.

Wann ist eine Investition nach dem internen Zinsfuß vorteilhaft?

Wenn der interne Zinsfuß über dem Kalkulationszins liegt. Unter mehreren Alternativen gewinnt nach diesem Kriterium der höchste interne Zinsfuß. Das Verfahren ist für Normalinvestitionen gedacht: erst Auszahlungen, danach nur Überschüsse.

Wie berechnet man den internen Zinsfuß ohne Tabellenkalkulation?

Durch lineare Interpolation: Man berechnet den Kapitalwert für zwei Versuchszinssätze, einen mit positivem und einen mit negativem Kapitalwert, und legt zwischen beiden eine Gerade. Deren Nullstelle ist der Näherungswert. Im Beispiel ergibt das 23,45 % statt exakt 23,38 %.

Interner Zinsfuß: die Definition

Der interne Zinsfuß r (auch interner Zinssatz oder interne Rendite) ist die Lösung der Gleichung „Kapitalwert gleich null“. Er lässt sich nicht nach r umstellen, deshalb wird er exakt iterativ gesucht oder von Hand durch Interpolation genähert.

0=−A0+∑t=1nEZU¨t(1+r)t0 = -A_{0} + \sum_{t=1}^{n} \frac{\mathit{EZ\text{Ü}}_{t}}{{\left(1 + r\right)}^{t}}

Dabei ist A₀ die Anschaffungsauszahlung und EZÜₜ der Einzahlungsüberschuss im Jahr t. Je höher der interne Zinsfuß, desto ertragreicher ist die Investition.

Interner Zinsfuß: exakte Berechnung

Eine Maschine kostet 1.000 € (t = 0) und bringt drei Jahre lang jeweils 500 € Überschuss. Der Kalkulationszins beträgt 8 %. Welche Verzinsung erreicht sie?

Interner Zinsfuß
23,38 %

Der interne Zinsfuß liegt über dem Kalkulationszins von 8 %: Die Investition ist vorteilhaft.

  1. Nullstelle des Kapitalwerts suchen (interner Zinsfuß)

    0=−A0+∑t=1nEZU¨t(1+r)t0 = -A_{0} + \sum_{t=1}^{n} \frac{\mathit{EZ\text{Ü}}_{t}}{{\left(1 + r\right)}^{t}}
    0=−1.000+405,2678569+328,4840716+266,24807150 = -1.000 + 405{,}2678569 + 328{,}4840716 + 266{,}2480715

    Ergebnis: 23,38 %

    Der interne Zinsfuß ist der Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null wird. Er lässt sich nicht umstellen und wird schrittweise gesucht: Zuerst wird der Bereich von −99 % bis 10.000 % auf Vorzeichenwechsel des Kapitalwerts abgesucht, dann wird jede Nullstelle durch Intervallhalbierung eingegrenzt. Gibt es mehrere Nullstellen, werden alle gemeldet.

Der interne Zinsfuß beträgt 23,38 %. Er liegt deutlich über dem Kalkulationszins von 8 %, die Maschine ist also nach diesem Kriterium vorteilhaft, in Übereinstimmung mit dem positiven Kapitalwert desselben Projekts.

Interner Zinsfuß: lineare Interpolation

Von Hand wählt man zwei Versuchszinssätze, hier 20 % und 25 %. Bei 20 % ist der Kapitalwert positiv (53,24 €), bei 25 % negativ (−24,00 €); die Nullstelle muss dazwischen liegen. Die Formel legt zwischen beiden Punkten eine Gerade:

r=i1+KW1⋅i2−i1KW1−KW2r = i_{1} + \mathit{KW}_{1} \cdot \frac{i_{2} - i_{1}}{\mathit{KW}_{1} - \mathit{KW}_{2}}
Interner Zinsfuß (Interpolation)
23,45 %
Exakter interner Zinsfuß
23,38 %
Abstand der Näherung
0,07 %

Der interne Zinsfuß liegt über dem Kalkulationszins von 8 %: Die Investition ist vorteilhaft.

  1. Kapitalwert beim Versuchszinssatz berechnen

    KW⁡(i)=−A0+∑t=1nEZU¨tqt\operatorname{KW}\left(i\right) = -A_{0} + \sum_{t=1}^{n} \frac{\mathit{EZ\text{Ü}}_{t}}{{q}^{t}}
    KW⁡(0,2)=−1.000+5001,21+5001,22+5001,23=−1.000+416,6666667+347,2222222+289,3518519\operatorname{KW}\left(0{,}2\right) = -1.000 + \frac{500}{{1{,}2}^{1}} + \frac{500}{{1{,}2}^{2}} + \frac{500}{{1{,}2}^{3}} = -1.000 + 416{,}6666667 + 347{,}2222222 + 289{,}3518519

    Ergebnis: 53,24 €

    Für die Interpolation werden zwei Versuchszinssätze gewählt, einer mit positivem und einer mit negativem Kapitalwert. Jede Zahlung wird mit dem Versuchszinssatz abgezinst, die Barwerte werden summiert.

  2. Kapitalwert beim Versuchszinssatz berechnen

    KW⁡(i)=−A0+∑t=1nEZU¨tqt\operatorname{KW}\left(i\right) = -A_{0} + \sum_{t=1}^{n} \frac{\mathit{EZ\text{Ü}}_{t}}{{q}^{t}}
    KW⁡(0,25)=−1.000+5001,251+5001,252+5001,253=−1.000+400+320+256\operatorname{KW}\left(0{,}25\right) = -1.000 + \frac{500}{{1{,}25}^{1}} + \frac{500}{{1{,}25}^{2}} + \frac{500}{{1{,}25}^{3}} = -1.000 + 400 + 320 + 256

    Ergebnis: −24,00 €

    Für die Interpolation werden zwei Versuchszinssätze gewählt, einer mit positivem und einer mit negativem Kapitalwert. Jede Zahlung wird mit dem Versuchszinssatz abgezinst, die Barwerte werden summiert.

  3. Interner Zinsfuß als Näherung durch Interpolation

    r=i1+KW1⋅i2−i1KW1−KW2r = i_{1} + \mathit{KW}_{1} \cdot \frac{i_{2} - i_{1}}{\mathit{KW}_{1} - \mathit{KW}_{2}}
    r=0,2+53,24074074⋅0,25−0,253,24074074−(−24)r = 0{,}2 + 53{,}24074074 \cdot \frac{0{,}25 - 0{,}2}{53{,}24074074 - \left(-24\right)}

    Ergebnis: 23,45 %

    Zwischen den beiden Versuchszinssätzen wird die Kapitalwertkurve durch eine Gerade ersetzt. Ihre Nullstelle ist der Näherungswert für den internen Zinsfuß: r = i₁ + KW₁ · (i₂ − i₁) / (KW₁ − KW₂). Das Ergebnis ist eine Näherung und kein exakter Wert.

  4. Exakten internen Zinsfuß zum Vergleich bestimmen

    0=−A0+∑t=1nEZU¨t(1+r)t0 = -A_{0} + \sum_{t=1}^{n} \frac{\mathit{EZ\text{Ü}}_{t}}{{\left(1 + r\right)}^{t}}
    0=−1.000+405,2678569+328,4840716+266,24807150 = -1.000 + 405{,}2678569 + 328{,}4840716 + 266{,}2480715

    Ergebnis: 23,38 %

    Zum Vergleich wird die Nullstelle der Kapitalwertfunktion exakt gesucht. Die Interpolation ersetzt die Kurve durch eine Gerade; bei einer Normalinvestition liegt die Näherung deshalb über dem exakten Wert. Der Abstand zeigt, wie grob die Näherung ist.

Die Näherung beträgt 23,45 %, der exakte Wert 23,38 %: Sie liegt um 0,07 Prozentpunkte zu hoch. Das ist die Folge des Verfahrens: Die Gerade (Sekante) verläuft oberhalb der gekrümmten Kapitalwertkurve. Je enger die Versuchszinssätze beieinander liegen, desto kleiner wird der Fehler.

Interner Zinsfuß selbst berechnen

Tragen Sie Ihre Zahlungsreihe ein. Wählen Sie bei Bedarf die Interpolation; ohne eigene Versuchszinssätze wählt die Seite zwei passende. Die Rechnung läuft in Ihrem Browser, die Eingaben werden nicht übertragen.

Durch Semikolon trennen, Komma als Dezimalzeichen. Die erste Zahl gehört zu t = 0 (Anschaffung).

Verfahren
Interner Zinsfuß
23,38 %

Der interne Zinsfuß liegt über dem Kalkulationszins von 8 %: Die Investition ist vorteilhaft.

Grenzen des internen Zinsfußes

  • Mehrere Lösungen: Wechselt die Zahlungsreihe mehr als einmal das Vorzeichen (keine Normalinvestition), kann die Gleichung mehrere interne Zinsfüße haben, und keiner ist dann eindeutig „der“ richtige. Der Rechner weist darauf hin.
  • Wiederanlage: Der interne Zinsfuß unterstellt, dass Rückflüsse zum internen Zinsfuß selbst wieder angelegt werden. Das ist bei hohen Werten oft unrealistisch.
  • Vergleich mehrerer Projekte: Die höhere Verzinsung muss nicht der höhere Gewinn sein. Bei unterschiedlichem Kapitaleinsatz entscheidet der Kapitalwert.

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