Dean-Modell: das optimale Investitionsprogramm

Kapital im Schnittpunkt

4.000 €

Grenzzins

12 %

Das optimale Programm setzt 4.000 € ein. „A“ wird nur anteilig realisiert. Der Grenzzins liegt bei 12 %. Das Kapitalangebot ist am Schnittpunkt aufgebraucht. Objekte, die danach folgen, bleiben ohne Finanzierung und kommen nicht ins Programm.

1. Kapitalwert des Objekts berechnen

   $$C_{0} = \sum_{t=0}^{n} \frac{Z_{t}}{{q}^{t}}$$
   $$C_{0} = -1.000 + \frac{600}{{1{,}1}^{1}} + \frac{600}{{1{,}1}^{2}}$$

   Ergebnis: 41,32 €

   Der Kapitalwert C₀ ist die Summe aller auf t = 0 abgezinsten Zahlungen des Objekts, die Anschaffungsauszahlung eingeschlossen. Er zeigt, wie viel das Objekt über den Kalkulationszins hinaus erwirtschaftet.

2. Kapitalwert des Objekts berechnen

   $$C_{0} = \sum_{t=0}^{n} \frac{Z_{t}}{{q}^{t}}$$
   $$C_{0} = -2.000 + \frac{900}{{1{,}1}^{1}} + \frac{900}{{1{,}1}^{2}} + \frac{900}{{1{,}1}^{3}}$$

   Ergebnis: 238,17 €

   Der Kapitalwert C₀ ist die Summe aller auf t = 0 abgezinsten Zahlungen des Objekts, die Anschaffungsauszahlung eingeschlossen. Er zeigt, wie viel das Objekt über den Kalkulationszins hinaus erwirtschaftet.

3. Kapitalwert des Objekts berechnen

   $$C_{0} = \sum_{t=0}^{n} \frac{Z_{t}}{{q}^{t}}$$
   $$C_{0} = -1.500 + \frac{700}{{1{,}1}^{1}} + \frac{700}{{1{,}1}^{2}} + \frac{700}{{1{,}1}^{3}}$$

   Ergebnis: 240,80 €

   Der Kapitalwert C₀ ist die Summe aller auf t = 0 abgezinsten Zahlungen des Objekts, die Anschaffungsauszahlung eingeschlossen. Er zeigt, wie viel das Objekt über den Kalkulationszins hinaus erwirtschaftet.

4. Kapitalwert des Objekts berechnen

   $$C_{0} = \sum_{t=0}^{n} \frac{Z_{t}}{{q}^{t}}$$
   $$C_{0} = -1.000 + \frac{400}{{1{,}1}^{1}} + \frac{400}{{1{,}1}^{2}} + \frac{400}{{1{,}1}^{3}}$$

   Ergebnis: −5,26 €

   Der Kapitalwert C₀ ist die Summe aller auf t = 0 abgezinsten Zahlungen des Objekts, die Anschaffungsauszahlung eingeschlossen. Er zeigt, wie viel das Objekt über den Kalkulationszins hinaus erwirtschaftet.

5. Kapitalwertrate berechnen

   $$\mathit{Cr} = \frac{C_{0}}{\left|A_{0}\right|}$$
   $$\mathit{Cr} = \frac{41{,}32231405}{\left|-1.000\right|}$$

   Ergebnis: 4,13 %

   Die Kapitalwertrate Cr = C₀ / |A₀| bezieht den Kapitalwert auf das eingesetzte Kapital und macht Objekte mit unterschiedlicher Anschaffungsauszahlung vergleichbar. Verwendet wird der Betrag von A₀; ein negativer Kapitalwert bleibt damit eine negative Kapitalwertrate.

6. Kapitalwertrate berechnen

   $$\mathit{Cr} = \frac{C_{0}}{\left|A_{0}\right|}$$
   $$\mathit{Cr} = \frac{238{,}1667919}{\left|-2.000\right|}$$

   Ergebnis: 11,91 %

   Die Kapitalwertrate Cr = C₀ / |A₀| bezieht den Kapitalwert auf das eingesetzte Kapital und macht Objekte mit unterschiedlicher Anschaffungsauszahlung vergleichbar. Verwendet wird der Betrag von A₀; ein negativer Kapitalwert bleibt damit eine negative Kapitalwertrate.

7. Kapitalwertrate berechnen

   $$\mathit{Cr} = \frac{C_{0}}{\left|A_{0}\right|}$$
   $$\mathit{Cr} = \frac{240{,}7963937}{\left|-1.500\right|}$$

   Ergebnis: 16,05 %

   Die Kapitalwertrate Cr = C₀ / |A₀| bezieht den Kapitalwert auf das eingesetzte Kapital und macht Objekte mit unterschiedlicher Anschaffungsauszahlung vergleichbar. Verwendet wird der Betrag von A₀; ein negativer Kapitalwert bleibt damit eine negative Kapitalwertrate.

8. Kapitalwertrate berechnen

   $$\mathit{Cr} = \frac{C_{0}}{\left|A_{0}\right|}$$
   $$\mathit{Cr} = \frac{-5{,}259203606}{\left|-1.000\right|}$$

   Ergebnis: −0,53 %

   Die Kapitalwertrate Cr = C₀ / |A₀| bezieht den Kapitalwert auf das eingesetzte Kapital und macht Objekte mit unterschiedlicher Anschaffungsauszahlung vergleichbar. Verwendet wird der Betrag von A₀; ein negativer Kapitalwert bleibt damit eine negative Kapitalwertrate.

9. Internen Zinsfuß bestimmen

   $$r = \frac{Z_{1}}{2 \cdot \left|A_{0}\right|} \pm \sqrt{{\left(\frac{Z_{1}}{2 \cdot \left|A_{0}\right|}\right)}^{2} + \frac{Z_{2}}{\left|A_{0}\right|}} - 1$$
   $$r = \frac{600}{2 \cdot 1.000} + \sqrt{{\left(\frac{600}{2 \cdot 1.000}\right)}^{2} + \frac{600}{1.000}} - 1$$

   Ergebnis: 13,07 %

   Bei nur zwei Einzahlungsüberschüssen ist die Kapitalwertgleichung eine quadratische Gleichung in q = 1 + r und lässt sich mit der pq-Formel lösen. Nur eine Lösung mit q > 0 ist wirtschaftlich sinnvoll; gibt es zwei, ist der Zinsfuß nicht eindeutig und die Rechnung bricht ab.

10. Internen Zinsfuß bestimmen

    $$0 = \sum_{t=0}^{n} \frac{Z_{t}}{{\left(1 + r\right)}^{t}}$$
    $$0 = -2.000 + \frac{900}{{1{,}166487417}^{1}} + \frac{900}{{1{,}166487417}^{2}} + \frac{900}{{1{,}166487417}^{3}}$$

    Ergebnis: 16,65 %

    Ab drei Zahlungen nach t = 0 gibt es keine geschlossene Lösung. Gesucht wird der Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null wird: erst grob über den ganzen Bereich von −99 % bis 10.000 %, dann durch fortgesetztes Halbieren des Intervalls. Gibt es keine oder mehrere Nullstellen, bricht die Rechnung ab, statt einen Wert zu raten.

11. Internen Zinsfuß bestimmen

    $$0 = \sum_{t=0}^{n} \frac{Z_{t}}{{\left(1 + r\right)}^{t}}$$
    $$0 = -1.500 + \frac{700}{{1{,}189133399}^{1}} + \frac{700}{{1{,}189133399}^{2}} + \frac{700}{{1{,}189133399}^{3}}$$

    Ergebnis: 18,91 %

    Ab drei Zahlungen nach t = 0 gibt es keine geschlossene Lösung. Gesucht wird der Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null wird: erst grob über den ganzen Bereich von −99 % bis 10.000 %, dann durch fortgesetztes Halbieren des Intervalls. Gibt es keine oder mehrere Nullstellen, bricht die Rechnung ab, statt einen Wert zu raten.

12. Internen Zinsfuß bestimmen

    $$0 = \sum_{t=0}^{n} \frac{Z_{t}}{{\left(1 + r\right)}^{t}}$$
    $$0 = -1.000 + \frac{400}{{1{,}097010257}^{1}} + \frac{400}{{1{,}097010257}^{2}} + \frac{400}{{1{,}097010257}^{3}}$$

    Ergebnis: 9,7 %

    Ab drei Zahlungen nach t = 0 gibt es keine geschlossene Lösung. Gesucht wird der Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null wird: erst grob über den ganzen Bereich von −99 % bis 10.000 %, dann durch fortgesetztes Halbieren des Intervalls. Gibt es keine oder mehrere Nullstellen, bricht die Rechnung ab, statt einen Wert zu raten.

13. Objekte nach Zinsfuß ordnen

    $$R = \operatorname{sortiert}\left(r_{j}\right)$$
    $$R = \operatorname{sortiert}\left(0{,}1891333987; 0{,}1664874173; 0{,}1306623863; 0{,}0970102574\right)$$

    Ergebnis: 4

    Für die Kapitalnachfragekurve werden die Objekte nach fallendem internem Zinsfuß gereiht: Das Objekt mit der höchsten Rendite kommt zuerst.

14. Kapitalnachfragekurve aufstellen

    $$N_{\mathit{ges}} = \sum_{j=1}^{m} \left|A_{\mathit{0,j}}\right|$$
    $$N_{\mathit{ges}} = 1.500 + 2.000 + 1.000 + 1.000$$

    Ergebnis: 5.500,00 €

    Die Objekte werden nach fallendem internem Zinsfuß gereiht. Der kumulierte Kapitalbedarf ergibt die Treppe der Kapitalnachfrage: Das Objekt mit dem höchsten Zinsfuß wird zuerst bedient.

15. Finanzierungen nach Zins ordnen

    $$Z = \operatorname{sortiert}\left(z_{j}\right)$$
    $$Z = \operatorname{sortiert}\left(0{,}06; 0{,}09; 0{,}12\right)$$

    Ergebnis: 3

    Für die Kapitalangebotskurve werden die Finanzierungsmöglichkeiten nach steigendem Zins gereiht: Die günstigste Quelle kommt zuerst.

16. Kapitalangebotskurve aufstellen

    $$V_{\mathit{ges}} = \sum_{j=1}^{s} V_{j}$$
    $$V_{\mathit{ges}} = 1.500 + 2.000 + 500$$

    Ergebnis: 4.000,00 €

    Die Finanzierungsmöglichkeiten werden nach steigendem Zins gereiht. Die kumulierten Beträge ergeben die Treppe des Kapitalangebots: Die günstigste Quelle wird zuerst genutzt.

17. Schnittpunkt von Nachfrage und Angebot bestimmen

    $$r_{\mathit{Grenze}} > z_{\mathit{Grenze}}$$
    $$0{,}1306623863 > 0{,}12$$

    Ergebnis: 4.000,00 €

    Solange der Zinsfuß des nächsten Objekts höher ist als der Zins der nächsten Finanzierung, lohnt sich jeder weitere Euro. Am Schnittpunkt beider Kurven endet das optimale Programm. Sind beide Sätze gleich, entsteht kein Vorteil; das Objekt kommt dann nicht mehr ins Programm.

18. Programm innerhalb des Budgets zusammenstellen

    $$x_{*} = \sum_{j=1}^{m} x_{j} \cdot \left|A_{\mathit{0,j}}\right|$$
    $$4.000 = 1 \cdot 1.500 + 1 \cdot 2.000 + 0{,}5 \cdot 1.000$$

    Ergebnis: 4.000,00 €

    Das optimale Programm besteht aus allen Objekten bis zum Schnittpunkt. Die Summe der eingesetzten Anteile mal Anschaffungsauszahlung ergibt das Kapital im Schnittpunkt.

19. Grenzobjekt bestimmen

    $$N_{\mathit{k-1}} < x_{*}$$
    $$3.500 < 4.000$$

    Ergebnis: 3

    Das Grenzobjekt ist das Objekt, in dessen Kapitalbedarf der Schnittpunkt fällt: Der kumulierte Bedarf davor liegt unter dem Kapital im Schnittpunkt, der kumulierte Bedarf bis einschließlich dieses Objekts darüber.

20. Anteil des Grenzobjekts bestimmen

    $$a = \frac{x_{*} - N_{\mathit{k-1}}}{\left|A_{\mathit{0,k}}\right|}$$
    $$a = \frac{4.000 - 3.500}{1.000}$$

    Ergebnis: 50 %

    Der Schnittpunkt liegt mitten in einem Objekt. Bei beliebiger Teilbarkeit wird dieses Grenzobjekt nur in dem Anteil realisiert, den das Kapital bis zum Schnittpunkt noch deckt.