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Annuität berechnen: Formel, Beispiel und Rechner

Die Annuität rechnet den Kapitalwert in gleich hohe Jahresbeträge um. Hier stehen die Formel, ein Beispiel mit jedem Rechenschritt und ein Rechner für Ihre eigenen Zahlungen.

Kurzantworten

Was ist die Annuität einer Investition?

Die Annuität ist die gleich hohe Zahlung am Ende jedes Jahres der Nutzungsdauer, die denselben Kapitalwert hätte wie die Investition. Sie verteilt den Kapitalwert auf die Jahre. Im Beispiel dieser Seite (Kapitalwert 288,55 €, drei Jahre, 8 %) beträgt sie 111,97 € pro Jahr.

Wie lautet die Formel für die Annuität?

a = KW · AF mit dem Annuitätenfaktor AF = i · qⁿ / (qⁿ − 1). KW ist der Kapitalwert, i der Kalkulationszins, q = 1 + i und n die Nutzungsdauer in Jahren.

Wann ist eine Investition nach der Annuitätenmethode vorteilhaft?

Bei einer Annuität über null. Bei null ist sie gleichgültig, darunter nicht vorteilhaft. Unter mehreren Alternativen wird die mit der höchsten Annuität gewählt.

Annuität: die Formel

Die Annuitätenmethode baut auf dem Kapitalwert auf. Sie multipliziert ihn mit dem Annuitätenfaktor (auch Wiedergewinnungsfaktor genannt), der einen heutigen Betrag auf n gleiche Jahresbeträge verteilt.

AF=i⋅qnqn−1\mathit{AF} = \frac{i \cdot {q}^{n}}{{q}^{n} - 1}
a=KW⋅AFa = \mathit{KW} \cdot \mathit{AF}

Dabei ist q = 1 + i der Zinsfaktor, i der Kalkulationszinssatz und n die Nutzungsdauer. Die Zahlungen fallen am Ende des Jahres an.

Annuität berechnen: Beispiel mit Rechenweg

Eine Maschine kostet 1.000 € (t = 0) und bringt drei Jahre lang jeweils 500 € Überschuss. Der Kalkulationszins beträgt 8 %. Wie hoch ist die Annuität?

Kapitalwert
288,55 €
Annuität
111,97 €

Die Annuität ist positiv: Über 3 Jahre bleibt jedes Jahr 111,97 € über dem Kalkulationszins von 8 %. Das ist der gleichmäßig verteilte Kapitalwert.

  1. Zinsfaktor bestimmen

    q=1+iq = 1 + i
    q=1+0,08q = 1 + 0{,}08

    Ergebnis: 1,08

    Der Zinsfaktor q = 1 + i gibt an, auf das Wievielfache ein Betrag in einer Periode anwächst. Alle weiteren Faktoren bauen darauf auf.

  2. Barwert der Zahlung berechnen

    BWt=EZU¨tqt\mathit{BW}_{t} = \frac{\mathit{EZ\text{Ü}}_{t}}{{q}^{t}}
    BWt=5001,081\mathit{BW}_{t} = \frac{500}{{1{,}08}^{1}}

    Ergebnis: 462,96 €

    Jede Zahlung wird mit dem Abzinsungsfaktor ihres Zeitpunkts auf heute abgezinst: Kₜ / qᵗ.

  3. Barwert der Zahlung berechnen

    BWt=EZU¨tqt\mathit{BW}_{t} = \frac{\mathit{EZ\text{Ü}}_{t}}{{q}^{t}}
    BWt=5001,082\mathit{BW}_{t} = \frac{500}{{1{,}08}^{2}}

    Ergebnis: 428,67 €

    Jede Zahlung wird mit dem Abzinsungsfaktor ihres Zeitpunkts auf heute abgezinst: Kₜ / qᵗ.

  4. Barwert der Zahlung berechnen

    BWt=EZU¨tqt\mathit{BW}_{t} = \frac{\mathit{EZ\text{Ü}}_{t}}{{q}^{t}}
    BWt=5001,083\mathit{BW}_{t} = \frac{500}{{1{,}08}^{3}}

    Ergebnis: 396,92 €

    Jede Zahlung wird mit dem Abzinsungsfaktor ihres Zeitpunkts auf heute abgezinst: Kₜ / qᵗ.

  5. Kapitalwert berechnen

    KW=−A0+∑t=1nEZU¨tqt\mathit{KW} = -A_{0} + \sum_{t=1}^{n} \frac{\mathit{EZ\text{Ü}}_{t}}{{q}^{t}}
    KW=−1.000+462,962963+428,6694102+396,9161205\mathit{KW} = -1.000 + 462{,}962963 + 428{,}6694102 + 396{,}9161205

    Ergebnis: 288,55 €

    Der Kapitalwert ist die Summe aller Zahlungen, jede auf heute abgezinst; die Anfangsauszahlung in t = 0 zählt ohne Abzinsung. Die Barwerte werden mit allen Nachkommastellen summiert, erst das Ergebnis wird auf zwei Nachkommastellen gerundet. Ein positiver Kapitalwert bedeutet, dass die Investition mehr als den Kalkulationszins verdient.

  6. Annuitätenfaktor berechnen

    AF=i⋅qnqn−1\mathit{AF} = \frac{i \cdot {q}^{n}}{{q}^{n} - 1}
    AF=0,08⋅1,0831,083−1\mathit{AF} = \frac{0{,}08 \cdot {1{,}08}^{3}}{{1{,}08}^{3} - 1}

    Ergebnis: 0,388

    Der Annuitätenfaktor i · qⁿ / (qⁿ − 1) ist der Kehrwert des Rentenbarwertfaktors. Er verteilt einen heutigen Betrag auf n gleiche Raten am Periodenende. Der Faktor wird nicht gerundet.

  7. Annuität mit eigener Nutzungsdauer berechnen

    a=KW⋅AFa = \mathit{KW} \cdot \mathit{AF}
    a=288,5484936⋅0,388033514a = 288{,}5484936 \cdot 0{,}388033514

    Ergebnis: 111,97 €

    Die Annuität verteilt den Kapitalwert als gleichbleibende Zahlung auf die Jahre der eigenen Nutzungsdauer der Investition: a = KW · Annuitätenfaktor. Dieser Weg setzt voraus, dass die Investition mit gleichem Ergebnis wiederholt wird.

Der Annuitätenfaktor für drei Jahre und 8 % beträgt 0,388. Mit dem Kapitalwert von 288,55 € ergibt sich eine Annuität von 111,97 €. Die Maschine verdient also jedes Jahr 111,97 € mehr, als wenn man das Geld zu 8 % anlegen würde: Sie ist vorteilhaft.

Annuität selbst berechnen

Tragen Sie Ihre Zahlungen ein. Gerechnet wird mit der eigenen Nutzungsdauer der Zahlungsreihe. Die Rechnung läuft in Ihrem Browser, die Eingaben werden nicht übertragen.

Durch Semikolon trennen, Komma als Dezimalzeichen. Die erste Zahl gehört zu t = 0 (Anschaffung).

Kapitalwert
288,55 €
Annuität
111,97 €

Die Annuität ist positiv: Über 3 Jahre bleibt jedes Jahr 111,97 € über dem Kalkulationszins von 8 %. Das ist der gleichmäßig verteilte Kapitalwert.

Annuität bei unterschiedlicher Nutzungsdauer

Der Vorteil der Annuität zeigt sich beim Vergleich von Projekten mit verschiedener Nutzungsdauer: Ein Jahresbetrag lässt sich besser vergleichen als zwei Kapitalwerte über verschieden lange Zeiträume.

  • Mit der eigenen Nutzungsdauer jeder Alternative rechnet, wer unterstellt, dass die Investition mit gleichem Ergebnis wiederholt wird. Diesen Weg rechnet diese Seite.
  • Mit der längsten Nutzungsdauer aller Alternativen rechnen manche Lehrbücher bei einer einmaligen Investition.

Beide Wege kommen in Lehrbüchern und Aufgabensammlungen vor und führen zu verschiedenen Zahlen. Prüfen Sie, welche Annahme Ihre Aufgabe verlangt.

Worauf Sie achten sollten

  • Die Annuität im Sinne der Investitionsrechnung ist nicht die Rate eines Annuitätendarlehens, auch wenn dieselbe Rentenformel dahintersteckt.
  • Wie beim Kapitalwert gilt: einheitlicher Kalkulationszins und sichere Zahlungen am Jahresende.
  • Die Entscheidung stimmt mit dem Kapitalwert überein: Annuität größer null heißt Kapitalwert größer null.

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